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浅谈多元表征理论在题组设计中的应用
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浅谈多元表征理论在题组设计中的应用
作者:周洁    教育科研来源:本站原创    点击数:    更新时间:2015-2-3

浅谈多元表征理论在题组设计中的应用  

澳门赌场排名官方网站   周洁  

   

“表征”是一个心理学名词,关于“表征”的定义,不同领域有不同的含义,人们对这一心理学名词的解释有不同的观点。 唐剑岚 老师在《数学多元表征学习与教学》中指出“表征是指用某一种形式,将一种事、物、想法或知识重新表现出来。因此,一定存在一个表征世界,也必定存在一个被表征世界。”表征是外部事物在心理活动中的内部再现,因此,它一方面反映客观事物,代表客观事物,另一方面又是心理活动进一步加工的对象。本文中,所指的表征,主要是指教师呈现学习内容的方式,即对学习内容的表征。  

多元表征,是针对“单一表征”而言的。研究指出,每一种表征方式都具有独特的优势和不足,对学生的数学学习也有不同的影响。因此,相对单一表征来说,多元表征具有互补的功能,对学生理解和解决数学问题有直接的影响,能帮助学生进行有意义、高效的数学学习。数学本身的特征决定了数学的表现形式是丰富多样的,我们可以运用文本、图形、符号、模型、实验等从多角度来表征数学信息。多元表征强调表征的多元性,强调表征的相互渗透与必要互补。帮助学生在表征的不同成分之间建立充分的联系,并进行灵活的转换。  

在多篇关于数学表征的学术论文中都提到了这样的观点:数学问题的表征方式,会影响学生的解题。在表征的过程中,每一种数学表征从内容上只是反映问题的部分信息,而多种方式的共同表征,则是丰富的、互补的。不同的表征形式,在不同的场合既相互补充,相互印证,又相互表示,能帮助学生较全面地把握数学学习对象的本质与非本质属性。反过来,学习数学问题的多元表征,能帮助学生沟通知识与知识间的联系,构建全面完整的知识结构体系,是学生学习数学的重要策略。  

本文在设计题组时对“多元表征理论”的应用,主要是打破传统的使用单一表征的方式,运用丰富多样的数学表征形式来设计题组,从而使题组对比的优势最大化,提高训练学生思维能力的成效。重在对比不同表征形式下的题组,通过对比思辨,举一反三,达到沟通联系,融会贯通,掌握数学知识的本质属性,使知识真正内化的目的。(关于数学多元表征的分类,国内外学术界有多种不同的观点,分类的方法也各不相同。本文就不在多元表征的分类上多作纠结,主要致力于思考怎样在题组设计中应用多元表征方式,以提高题组训练的成效。)我在《在题组练习中对学生进行数学思维训练的研究》的课题中,将题组分为递进型题组、相似型题组、同解型题组、对比型题组和一题多解,本文将以这几种题组类型为基础展开阐述。  

·多元表征互补,提高题组成效。  

题组训练最大的优势就是“异”与“同”的对比,在对比辨析中,问题逐步明朗,学生的思维能力和水平也得到了提高。“异”与“同”设计的好,学生在对比中找到了问题的实质,知识体系得到完善,思维得到了发展。而“异”与“同”设计的不好,则会混淆知识之间的本质,使学生产生混乱,达不到题组训练的目的。  

在六年级学习了圆柱和圆锥这一单元后,我曾设计过关于圆柱的切割的题组:  

1.将一个长 2米 的圆柱木料平均切成三个小圆柱后,表面积增加了400平方厘米,原来圆柱的体积多少立方厘米?  

2.将一个长 2米 的圆柱沿底面直径切成两个半圆柱后,表面积增加了400平方厘米,原来圆柱的体积是多少立方厘米?  

3.将一个长 2米 的圆柱切拼成一个近似的长方体后,表面积增加了400平方厘米,原来圆柱的体积是多少立方厘米?  

这是一组相似型题组,题组中设计的圆柱的长都是 2米 ,被切割后表面积都是增加了400平方厘米。这三题所不同的是圆柱的切割方式,“小圆柱”“半圆柱”“近似长方体”是三种不同的切割圆柱的方法,切割后所增加的表面积的实质不同,所以解决问题的方法也不同。这是解决问题的关键,要求学生能准确地判断“小圆柱”“半圆柱”“近似长方体”这三种切割方法的不同,在知识结构体系中选择正确的知识来应用解答。  

在学生实际练习的过程中,我发现这三题单独来看,本身就是思维难度较高的,现在又组成题组,这些相似的条件是学生思维的障碍,学生受题组相似性的影响,很容易产生思维的混乱,使得这一题组训练没有成效。但这三题组成题组又确实有其优越性,三种不同切割方式的对比和辨析,既能完善学生的知识结构,在思辨和碰撞的过程中,又能促进学生思维深刻性和敏捷性的发展。仔细思考,学生产生混乱的关键还在于对三种不同切割方式的理解不到位,结合多元表征理论,在呈现这一组题组的时候,除了文字表征以外,我又加上了图形的表征,用两种表征方式同时呈现题组:  

1.将一个长 2米 的圆柱木料平均切成三个小圆柱后(如图1),表面积增加了400平方厘米,原来圆柱的体积多少立方厘米?  

2.将一个长 2米 的圆柱沿底面直径切成两个半圆柱后(如图2),表面积增加了400平方厘米,原来圆柱的体积是多少立方厘米?  

                                          
3.将一个长 2米 的圆柱切拼成一个近似的长方体后(如图3),表面积增加了400平方厘米,原来圆柱的体积是多少立方厘米?  

数与形是数学中的两个最基本的也是最古老的研究对象,数形结合是数学教学中的最基本方法之一,可以说是最常见运用最广泛的多元表征方法。我国著名数学家曾说过:数形结合百般好,隔裂分家万事非。”在上面这一组题组中,通过以数化形,数形结合,用图形来帮助理解问题的本质。结合图形,圆柱体的三种切割方式显得更加直观具体,很大程度上帮助学生理解了切割后所增加的表面积的本质,从而为学生搭建了一个思维跨越的平台。在辨析和对比的过程中,老师再结合这三种切割方式的实物模型,帮助学生理解在这三种切割方式中,切割后增加的面积实质上分别是什么:图1中增加的是圆柱的4个底面积,图2中增加的是2个底面直径乘高的长方形面积,图3中增加的是两个底面半径乘高的长方形面积。在理解的过程中,学生既可以看到实物的模型,用手摸到增加的面积,又可以听到老师的分析讲解,还能看到模型中抽象的数学图形,在数字表征、图形表征、模型表征、语言表征等多种表征方式的结合下,教师再呈现学生正确和错误的想法,通过对比异同,对同学们的想法进行评价和判断,再找出错误的所在,鼓励学生进行评价和自我评价,使学生敢想,敢说,敢思考,敢批判,切实培养了学生思维的敏捷性和批判性。  

·多元表征结合,体现题组优势  

递进型题组,是一组由简到繁,由简单到复杂的题组,递进型题组旨在透过表面现象的变化发现内在本质的相同,通过变发现不变的东西,是一种归纳性思维。下面这一组题组是关于按比例分配问题的递进题组。按比例分配的问题是比较容易的,学生往往轻视了这部分知识。其实,按比例分配的变式还是很多的,主要是总量与所给比不对应。设计这一题组是通过对应与不对应的变化,强调只有当总量与比对应时才能直接分配,不对应时一定要先对应起来,而让总量与比对应的方法可以是调整总量,也可以是调整比。通过训练,使学生迅速、准确对总量与比的关系作出判断,发展学生思维的敏捷性。  

1、六(1)班为希望小学捐款1120元,男生与女生捐款的钱数的比是34,男、女生各捐款多少元?  

2一批树苗平均分给六(1)、六(2)班栽种,每班分得120棵。如果按75分配,六(1)、六(2)班各应栽多少棵?   

3用一根长 48厘米 的铁丝围成一个长方形,长和宽的比是5:3,这个长方形的面积是多少?  

4已知一个等腰三角形其中两条边的比是24。已知这个等腰三角形的周长是30厘米。它的三条边分别是多少厘米?(取整厘米数)  

从训练结果来看,学生在前4题上的小错误很多,对问题理解的片面性是主要原因,导致这4题中学生并没有对总量与份数的对应有深刻的体会,没有起到很好的递进作用。为了能更好地体现这4题的作用,我运用多元表征理论对这一组题组进行了调整:  

      1、六(1)班为希望小学捐款1120元,男生与女生捐款的钱数的比是34,男、女生各捐款多少元?  

2一批树苗平均分给六(1)、六(2)班栽种,每班分得120棵。如果按75分配,六(1)、六(2)班各应栽多少棵?   

      3如图是一个用一根长48厘米的铁丝围  

                            成的一个长方形,这个长方形的面积是  

多少?  

      4、一个等腰三角形其中两条边的比是24。已知这个等腰三角形的周长是 28厘米 。它的三条边分别是多少厘米?(先在图中填写份数,再解答,答案取整厘米数)      

5、两杯重量相等的糖水,第一杯中糖与水的比是23,第二杯中糖与水的比是35。如果将两杯糖水混合,求杯中糖与水的比。  

2题在原题的基础上配上了符号表征,明确75对应的总量是2120棵,引导学生初步树立对应的数学思想。第3题将长与宽的比是53这个条件改成了图形表征,并将53用方格图表示,将原来学生解决这道题时容易忽视的长方形有两条长两条宽的特征直观显现,突出了5353的关键点,打破了学生看到周长和53就直接分配的思维定势。强调 48厘米 5353的对应,或是 24厘米 53的对应,使学生进一步感受了对应的思想。第4题配上了模型表征,通过填写等腰三角形三条边的份数,来明确题中24的含义,结合三角形三边关系,24的实际含义是244,因此与 28厘米 对应的比是244,学生在这一题中感受通过调整比来对应的数学方法。通过这四题的铺垫,学生对按比例分配问题中的对应思想有了较深入的了解。第5题是新增加的,呈现第5题时,又回到单一的数字表征,是期望通过前4题的引领与感受,让学生自主地用多元表征来展现问题,从而找到解决问题的关键所在:两杯糖水重量相等,但每一杯被分的份数不同,那就必须统一总份数。58的最小公倍数是40,因此第一杯糖与水的比是1624,第二杯糖与水的比是1525,新糖水糖与水的比是3149。在前四题的引导下,部分同学已经能够通过头脑中思维的内部表征直接解题,还有部分同学则会在上几题的引导下结合图形,符号等表征方式解决问题。在最后分析的过程中,教师结合图形表征、符号表征、模型表征等对题组加以对比辨析,使学生明确按比例分配问题的实质:对应。  

·多元表征对比,形成意义认知。  

在教学《负数的初步认识》这一单元的知识时,我感到学生对负数的理解是比较空泛的,他们往往认为负数就是在正数前面加上一个负号,而不能形成相关联的有意义的认知。有些学生甚至无法理解负数,他们认为小于0的数学是不存在的。这时,我设计了下面这组对比型题组,通过不同表征方式的对比,多角度地帮助学生理解负数的真正意义  

1.表示与5相反意义的数是(      )。  

2.李老师向南走 120米 记作“+ 120 ”,那么“- 50 ”表示的是(      

3.在数轴上填数:  

        

   

4.回答问题:  

 A:-2接近2,还是接近0   

B:-34谁更接近0  

C:-25相差几?  

D:比-46是几?  

这一题组属于对比型题组,题组中的各小题采用了不同的数学表征方式,利用看似毫无关系,却用同一种数学思想解答的题组,帮助学生透过表面现象的变化发现内在本质的相同通过变发现不变的东西,使学生经历“顿悟”,体验化复杂多变为简单的学习乐趣。逐步养成学生举一反三、触类旁通的思维习惯。培养学生思维的灵活性:当问题的情境与条件发生变化时,思维能够快速地打破旧框框,找到解决问题的办法。同时在题组训练中,使学生对负数的认识从负数的意义上升到对负数大小的感知,一方面能帮助学生从本质上真正理解负数,另一方面也为后续进一步学习负数的相关知识垫定基础。  

题组中第1题是从语言表征上明确正负数可以用来表示相反意义的数;第2题采用运动知识表征,在具体的生活情境中进一步明确正负数表示相反意义的数;第3题则运用视觉和空间表征,通过在数轴上填数使学生对正负数的理解更进一步,同时通过数轴的空间表征形象地初步理解负数的大小;第4题属于数字表征,结合第3题的数轴的图形表征,对正数与负数进行大小的比较,具体地理解负数的大小,既从本质上理解负数,也为后续学习负数的相关知识垫定基础。通过不同的表征方式,学生可以采用适合自己的表征方式来理解负数的真正意义,打破“负数是正数前面加个-号”这样的思维局限。  

·巧用变式表征,完善知识体系。  

数学学习内容只有在适当的表征方式下才能反映出其真实内涵。在小学数学中,经常运用实物、模型、图形等视觉化的表征来凸显数学问题。而模型、图形的变式也是一个值得注重的问题。例如我们在低年级教学生认识正方形的时候会这样描述:方方正正的图形是正方形,在平时的示范中也多以标准图形出现,于是在学生思维中就形成了一种定势,他们会认为只有标准图形才是正方形。在后续的学习中,关于正方形的定义会完善:四个角都是直角,四条边都相等的四边形是正方形。但初学时的思  

        

   

   

   

维定势已经形成,很难打破。所以在学习的过程中,我们要常用变式表征,避免学生形成这种错误的定势。  

            在学习了多边形的面积后,我设计了这样一组题组:  

1.        

2.求图2中梯形的面积   

   

                        2                 3  

3.3中平行四边形的底是20厘米,高是18厘米。求图中阴影部分的面积。  

4.一个平行四边形的底和斜边分别是 12厘米 和 20厘米 ,其中一条边上的高是 15厘米 。这个平行四边形的面积是多少平方厘米?  

这是一组递进型和对比型的题组,整个题组,是关于多边形面积的一个连续的,不断递进,逐层深入的思维过程。引导学生的学习活动由表及里,由浅入深的步步递进,推动学生思维水平阶梯状螺旋上升。   

题组中的第1题采用符号表征,直接用字母出示三角形的相关条件,来求面积。这种新的表征方式,使图形的字母公式学有所用,也为后续学习几何图形的相关知识奠基,与中学的学习接轨。第2题是梯形的一个变式图形表征,对部分学生来说,问题还是很大的,他们在变式图形中找不准梯形的上下底和高分别是多少,可见标准图形的定势有多大。第3题是关于平行四边形与三角形等底等高的知识,平行四边形的面积是等底等高三角形面积的2倍,这一题中的三个三角形面积正好就是一个与平四等底等高的三角形。这是一种思维的递进训练,这种训练有助于养成学生善于概括归类,善于抓住事物的本质和规律,开展系统的理解活动的思维品质。第4题采用常见的数字表征,描述平行四边形的底和高,这种表征方式是不易于学生解决这一问题的,这里,就要求学生在数字表征的基础上,自主地采用其它的表征方式来理解题意,大多数同学会采用图形表征,会有一种“一画出图,答       案也就出来了”的感觉,当然,“斜边必定比高长一些”的结论也要求学生有较高的空间想象能力。能力较强的学生会在头脑中采用内部语言表征,先确定高是 15厘米 ,则斜边是 20厘米 ,底是 12厘米   

除了上述例子,多元表征在题组设计的过程中还有很多的运用。如丰富文字表征:在数学老师的眼中,一道数学题中最关注的仅仅是几个数字,而在孩子们尤其是在小学生眼中,除了数字,他们还关注题中描述的情境,包含的知识。永生的“小明”让他们嗤之以鼻,桃树李树,黄花红花更是让学生提不起一点兴趣。文字表征的生动性、生活化,能提高学生对数学问题的兴趣,让他们喜欢数学,热爱数学。重视模型表征:随着多媒体的出现,很多老师爱上了课件,以课件代替了传统的学习方式,甚至一劳永逸。其实,在数学中,模型表征是一种重要的学习方式,一些图形问题仅靠课件中的演示,学生还是很难理解的,但如果采用模型演示来表征,难点自然而然就突破了。  

   

不得不提的是,多元表征学习虽然比单一表征学习具有优越性,但设计不良或是不恰当的多元表征学习也可能造成学习者认知过载,从而影响学习的过程。因此,在运用多元表征理论设计题组练习时,必须遵循其基本原则,使题组优势得以充分显现,对学生进行思维训练,帮助学生形成良好的思维品质。  

   

   

参考文献:  

唐剑岚《数学多元表征学习与教学》  

郑毓信《多元表征理论与概念教学》  

王兄《论数学表征系统》  

吕程、周莹、唐剑岚《多元表征:探寻数学智慧课堂的一把密钥》  

陈梦倩《幼儿学习活动中的多元表征》  

黄瑾、徐雅萍《多元表征与早期儿童的数学学习》  

教育科研录入:周洁    责任编辑:glf1011 
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